QCM corrigés : Mathématiques (niveau bac)

Questions originales rédigées pour l’entraînement : elles reproduisent le style et le niveau des épreuves, pas des sujets officiels.

1. Débutant
   Que vaut $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^{2} - x + 1}{x^{2} + 5}$ ?
   1. $+\infty$
   2. $3$
   3. $0$
   4. $\displaystyle \frac{1}{5}$
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   Bonne réponse : $3$
   En $+\infty$, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré : $\frac{3x^{2}}{x^{2}} = 3$.
2. Intermédiaire
   $f$ est continue sur $[a, b]$ avec $f(a) < 0 < f(b)$. Que peut-on affirmer ?
   1. $f$ s'annule en $\displaystyle \frac{a + b}{2}$
   2. L'équation $f(x) = 0$ admet exactement une solution dans $\left]a, b\right[$
   3. L'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $\left]a, b\right[$
   4. $f$ est strictement croissante sur $[a, b]$
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   Bonne réponse : L'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $\left]a, b\right[$
   Le TVI garantit l'existence d'au moins un réel $c$ de $\left]a, b\right[$ tel que $f(c) = 0$. L'unicité demande en plus que $f$ soit strictement monotone.
3. Débutant
   Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{3} - 4x + 7$ ?
   1. $f'(x) = x^{2} - 4$
   2. $f'(x) = 3x^{2} + 7$
   3. $f'(x) = 3x^{2} - 4$
   4. $f'(x) = 3x^{2} - 4x$
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   Bonne réponse : $f'(x) = 3x^{2} - 4$
   $(x^{n})' = n x^{n-1}$ ; la dérivée de $-4x$ est $-4$ et celle d'une constante est $0$.
4. Intermédiaire
   Sur quel intervalle la fonction $f(x) = x^{3} - 3x$ est-elle décroissante ?
   1. $\left]-\infty\,;-1\right]$
   2. $[-1\,;1]$
   3. $[0\,;3]$
   4. $\left[1\,;+\infty\right[$
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   Bonne réponse : $[-1\,;1]$
   $f'(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ est négative entre les racines $-1$ et $1$ : $f$ est décroissante sur $[-1\,;1]$.
5. Débutant
   Que vaut $\ln(e^{3})$ ?
   1. $e^{3}$
   2. $3e$
   3. $3$
   4. $\displaystyle \frac{1}{3}$
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   Bonne réponse : $3$
   $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre : $\ln(e^{x}) = x$ pour tout réel $x$.
6. Débutant
   Que vaut $e^{\ln 5}$ ?
   1. $\displaystyle \frac{1}{5}$
   2. $\ln 5$
   3. $e^{5}$
   4. $5$
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   Bonne réponse : $5$
   Pour tout $x > 0$, $e^{\ln x} = x$.
7. Débutant
   Une suite arithmétique a pour premier terme $u_{0} = 5$ et pour raison $r = 3$. Que vaut $u_{10}$ ?
   1. $30$
   2. $35$
   3. $15$
   4. $38$
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   Bonne réponse : $35$
   $u_{n} = u_{0} + nr = 5 + 10 \times 3 = 35$.
8. Débutant
   Que vaut l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1} 2x\,\mathrm{d}x$ ?
   1. $0$
   2. $\displaystyle \frac{1}{2}$
   3. $2$
   4. $1$
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   Bonne réponse : $1$
   Une primitive de $2x$ est $x^{2}$ : $\left[x^{2}\right]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$.
9. Débutant
   Dans $\mathbb{C}$, que vaut $i^{3}$ ?
   1. $i$
   2. $-i$
   3. $1$
   4. $-1$
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   Bonne réponse : $-i$
   $i^{2} = -1$, donc $i^{3} = i^{2} \times i = -i$ (et $i^{4} = 1$).
10. Débutant
    Combien y a-t-il de façons de choisir 2 personnes parmi 5, sans tenir compte de l'ordre ?
    1. $10$
    2. $20$
    3. $5$
    4. $25$
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    Bonne réponse : $10$
    $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
12. Intermédiaire
    Quelles sont les solutions de l'équation différentielle $y' = 2y$ ?
    1. $\displaystyle y = k e^{\frac{x}{2}}$, $k \in \mathbb{R}$
    2. $y = k e^{2x}$, $k \in \mathbb{R}$
    3. $y = x^{2} + k$, $k \in \mathbb{R}$
    4. $y = 2e^{x} + k$, $k \in \mathbb{R}$
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    Bonne réponse : $y = k e^{2x}$, $k \in \mathbb{R}$
    Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto k e^{ax}$, $k$ réel.
13. Intermédiaire
    Que vaut le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}(1\,;2\,;-1)$ et $\vec{v}(3\,;0\,;2)$ ?
    1. $5$
    2. $1$
    3. $3$
    4. $-1$
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    Bonne réponse : $1$
    Dans un repère orthonormé, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times 0 + (-1) \times 2 = 3 + 0 - 2 = 1$.
14. Intermédiaire
    Quel est le PGCD de $84$ et $120$ ?
    1. $24$
    2. $6$
    3. $12$
    4. $4$
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    Bonne réponse : $12$
    $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ et $120 = 2^{3} \times 3 \times 5$, donc le PGCD vaut $2^{2} \times 3 = 12$. Par Euclide : $120 = 84 + 36$, $84 = 2 \times 36 + 12$, $36 = 3 \times 12$.
15. Débutant
    Que vaut $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?
    1. $0$
    2. $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
    3. $\displaystyle \frac{1}{2}$
    4. $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
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    Bonne réponse : $\frac{1}{2}$
    Valeurs remarquables : $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
16. Débutant
    Quelles sont les solutions de l'équation $x^{2} - 5x + 6 = 0$ ?
    1. $1$ et $6$
    2. $-2$ et $-3$
    3. $2$ et $3$
    4. $-1$ et $6$
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    Bonne réponse : $2$ et $3$
    $\Delta = 25 - 24 = 1$ et $x = \frac{5 \pm 1}{2}$. Vérification : la somme des racines vaut $5$ et leur produit $6$.
17. Intermédiaire
    Dans un repère orthonormé du plan, on donne $A(-1 ; 3)$, $B(3 ; 0)$ et $C(2 ; 4)$. La distance du point $C$ à la droite $(AB)$ vaut :
    1. $3$
    2. $\displaystyle \frac{13}{5}$
    3. $13$
    4. $\displaystyle \frac{5}{13}$
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    Bonne réponse : $\frac{13}{5}$
    $\overrightarrow{AB}(4 ; -3)$ : la droite $(AB)$ a pour équation $3x + 4y - 9 = 0$ (A et B la vérifient). $d(C, AB) = \frac{|3 \times 2 + 4 \times 4 - 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{13}{5}$.
18. Intermédiaire
    Que vaut $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$ ?
    1. $3$
    2. $1$
    3. $\displaystyle \frac{1}{3}$
    4. $0$
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    Bonne réponse : $3$
    On écrit $\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \times \frac{\sin(3x)}{3x}$. Comme $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$, la limite est $3 \times 1 = 3$.
19. Intermédiaire
    L'équation $x^{3} + x - 1 = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$. Dans quel intervalle se trouve $\alpha$ ?
    1. $\left]0\,;0{,}5\right[$
    2. $\left]1\,;1{,}5\right[$
    3. $\left]-1\,;0\right[$
    4. $\left]0{,}5\,;1\right[$
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    Bonne réponse : $\left]0{,}5\,;1\right[$
    $f(x) = x^{3} + x - 1$ est strictement croissante ($f'(x) = 3x^{2} + 1 > 0$). $f(0{,}5) = -0{,}375 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ : d'après le TVI, $\alpha \in \left]0{,}5\,;1\right[$ ($\alpha \approx 0{,}68$).
20. Intermédiaire
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x e^{x}$ ?
    1. $f'(x) = e^{x}$
    2. $f'(x) = (x + 1)e^{x}$
    3. $f'(x) = x e^{x}$
    4. $f'(x) = (x - 1)e^{x}$
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    Bonne réponse : $f'(x) = (x + 1)e^{x}$
    Dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv' = 1 \cdot e^{x} + x e^{x} = (x + 1)e^{x}$.
21. Intermédiaire
    Quelle droite est asymptote oblique à la courbe de $\displaystyle f(x) = x + 2 + \frac{1}{x}$ en $+\infty$ ?
    1. $y = x + 2$
    2. $x = 0$
    3. $y = x$
    4. $y = 2$
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    Bonne réponse : $y = x + 2$
    $f(x) - (x + 2) = \frac{1}{x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, donc $y = x + 2$ est asymptote oblique. La droite $x = 0$ est, elle, une asymptote verticale.
22. Débutant
    Que vaut $\ln(8) - \ln(2)$ ?
    1. $\ln(6)$
    2. $\ln(16)$
    3. $3$
    4. $\ln(4)$
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    Bonne réponse : $\ln(4)$
    $\ln a - \ln b = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$ : $\ln\left(\frac{8}{2}\right) = \ln 4$, qui vaut aussi $2\ln 2$.
23. Intermédiaire
    Quelle est la solution de l'équation $e^{2x} = 3$ ?
    1. $x = 2\ln(3)$
    2. $\displaystyle x = \frac{\ln(3)}{2}$
    3. $x = \ln(6)$
    4. $\displaystyle x = \frac{3}{2}$
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    Bonne réponse : $x = \frac{\ln(3)}{2}$
    $e^{2x} = 3 \iff 2x = \ln 3 \iff x = \frac{\ln 3}{2}$.
24. Débutant
    Une suite géométrique a pour premier terme $u_{0} = 2$ et pour raison $q = 3$. Que vaut $u_{4}$ ?
    1. $486$
    2. $162$
    3. $54$
    4. $14$
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    Bonne réponse : $162$
    $u_{n} = u_{0} \cdot q^{n} = 2 \times 3^{4} = 2 \times 81 = 162$.
25. Intermédiaire
    Que vaut l'intégrale $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ ?
    1. $1$
    2. $e - 1$
    3. $e$
    4. $0$
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    Bonne réponse : $1$
    Une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $\left]0\,;+\infty\right[$ est $\ln x$ : $\ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$.
26. Débutant
    Quel est le module du nombre complexe $z = 3 + 4i$ ?
    1. $5$
    2. $7$
    3. $25$
    4. $\sqrt{7}$
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    Bonne réponse : $5$
    $|a + ib| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
27. Débutant
    De combien de façons peut-on ranger 4 livres différents sur une étagère ?
    1. $16$
    2. $4$
    3. $12$
    4. $24$
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    Bonne réponse : $24$
    Le nombre de permutations de 4 objets distincts est $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
28. Intermédiaire
    Quelle est la solution de $y' = -y$ vérifiant $y(0) = 3$ ?
    1. $y = 3e^{-x}$
    2. $y = e^{-3x}$
    3. $y = 3e^{x}$
    4. $y = -3e^{x}$
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    Bonne réponse : $y = 3e^{-x}$
    Les solutions sont $y = k e^{-x}$ ; la condition $y(0) = k = 3$ fixe la constante.
29. Débutant
    Quel vecteur est normal au plan d'équation $2x - y + 3z - 5 = 0$ ?
    1. $\vec{n}(2\,;1\,;3)$
    2. $\vec{n}(1\,;-1\,;1)$
    3. $\vec{n}(2\,;-1\,;3)$
    4. $\vec{n}(-5\,;0\,;0)$
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    Bonne réponse : $\vec{n}(2\,;-1\,;3)$
    Le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ admet $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ comme vecteur normal.
30. Intermédiaire
    Quel est le reste de la division euclidienne de $2^{10}$ par $7$ ?
    1. $2$
    2. $3$
    3. $1$
    4. $4$
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    Bonne réponse : $2$
    $2^{3} = 8 \equiv 1 \pmod{7}$, donc $2^{9} = \left(2^{3}\right)^{3} \equiv 1$ et $2^{10} \equiv 2 \pmod{7}$. Vérification : $1\,024 = 7 \times 146 + 2$.
31. Débutant
    Pour tout réel $x$, $\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)$ vaut :
    1. $\cos(2x)$
    2. $2$
    3. $1$
    4. $0$
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    Bonne réponse : $1$
    C'est la relation fondamentale de la trigonométrie, conséquence du théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique.